III-Expérimentations et études

1) Diapason

 

Expérience 1

 

POINT DE VUE PHYSIQUE

 

 

But : Visualiser la forme du signal du diapason

 

 Protocole : Il s’agit d’exciter le diapason en le tapant . Faire l’acquisition de son signal, de l’onde produite par ce signal.

 

Matériel : Microphone, oscilloscope graçe à l’interface EXAO (EXpérimentation Assistée par Ordinateur), diapason La3 440Hz.

 

Manipulation : Nous tapons sur le diapason afin d’obtenir le son qu’il émet et nous approchons le microphone. Graçe à l’interface EXAO, nous recevons le signal du son, mais à cause d’une défaillance au niveau de l’amplification du son, nous n’avions pas d’assez bonnes courbes et nous ne pouvions pas exploiter les résultats. Après quelques recherches, nous avons réussi à nous procurer un oscilloscope à mémoire (extérieur au lycée) performant pour effectuer nos mesures. Avec cet oscilloscope à mémoire, FLUKE, nous avons voulu comparer les résultats obtenus au lycée  et ceux obtenus avec nos expériences. En effectuant cette expérience à la maison, nous avons alors constaté que nos résultats du lycée étaient faux.

Voici à nouveau l’expérience:

 

DIAPASON SANS CAISSE DE RÉSONANCE :

LES FILS DE CONNEXION :


 

 

LE MICROPHONE (POUR CAPTER LE SON ÉMIS) :


 

 

 

 

L’OSCILLOSCOPE A MÉMOIRE (FLUKE) :


 

 

LE MONTAGE :


 

 

Après avoir fait l’acquisition, nous pouvons observer à l’écran ci-dessous :

 

Forme d’onde du La3 440 Hz du diapason:

D’un point de vue physique, le signal ci-dessus est de la forme  f(x) = a.sin(ω*t+ ϕ) car tout signal sinusoïdale est de cette forme la. Avec ω = pulsation ; ω = 2π*f avec f qui est la fréquence et f = 1/T et ϕ qui correspond au déphasage (un retard entre cosinus et sinus)

On constate d’après le graphique qu’à t = 0 la fonction est égale à 1

On peut donc en déduire que c’est une fonction cosinus.

 

Vérification avec Géogébra:

La fonction sinus est en rouge car sin(0) = 0 et la fonction cosinus est en rouge car cos(0) = 1.

Et grâce à cet oscilloscope à mémoire, et au logiciel fournis avec, nous pouvons faire la transformée de Fourrier:

Après avoir eu le La440 Hz avec l’oscilloscope à mémoire, et après avoir fait représentation graphique de la courbe correspondant à cette fréquence, nous constatons que nos résultats tombent juste. Grâce à la transformée de Fourrier, nous constatons que le La3 440 Hz du diapason n’est composé que d’une seul fondamentale. C’est donc pour cela que le diapason est l’instrument de référence pour accorder les instruments.

 

 

 

POINT DE VUE MATHEMATIQUE

 

Nous allons faire l’étude des fonctions  sin(w*t) et cos(w*t)

Pour la fonction Cos(w*t), on prendra comme domaine de définition R. L’intervalle est   [0; 2π ].

On admet alors deux asymptotes horizontales -1 et 1.

Etude de la fonction cos(x) : Graçe aux formule trigonométriques, on peut dire que:

cos(2x) = 2*-sin(2x)

On trouve donc la dérivée qui est égale à  (cos(w*t))’ = -w( sin(w*t))

Donc sin(w*t) = 0   quand t = 0

Parité de la fonction:    sin(-x) = – sin(x)   donc la  fonction est  impaire. On peut se limiter dans notre étude à [0;π].

2) Guitare

 

 

Expérience 2

En raison de mesures approximatives et fausses, nous avons choisi de laisser le logiciel EXAO de côté et d’utiliser un oscilloscope à mémoire extérieur au lycée.  Nous avons passé environ trois séances à faire cette expérience mais comme le signal était faible à cause d’une mauvaise amplification, nous n’arrivions pas à le capter. Nous ne pouvions pas interpréter les résultats (les courbes).

Nous ne voulions pas rester sur cet échec et avons décidé d’utiliser à nouveau l’oscilloscope à mémoire FLUKE.

 

Voici la fréquence observée à l’oscilloscope après l’expérience :

Nous remarquerons que la fréquence est pourtant de 440 Hz, mais que la courbe est différente car elle comporte des variations !!

-Première différence : Contrairement au diapason, le signal du La 440Hz de la guitare n’est pas régulier. Il est formé de plusieurs pics. On observe la même période pour les deux instruments avec un pic pour le diapason, et plusieurs pics pour la guitare.

On ne peut donc pas associer le signal de la guitare à une fonction cosinus ou un sinus.

Comment peut on alors étudier et interpréter ce signal ?

D’après des recherches dans le livre de spécialité physique de terminale, nous avons trouvé la définition de la série de fourrier : tout signal périodique peut être décomposé en plusieurs signaux. Ces quelques mots nous ont permis de nous poser un certain nombre de questions et d’avancer sur l’interprétation possible de la représentation graphique correspondant à la fréquence du « LA » 440Hz de la guitare.

Nous cherchons alors à savoir de combien d’harmonique le « LA » 440 Hz de la guitare est composé. Grâce au logiciel FLUKE, nous avons pu avoir la transformée de Fourrier de cette fréquence :

Nous pouvons alors observer que le « LA » 440 Hz de la guitare est composé d’une fondamentale égale à 440 Hz, et d’autres harmoniques au nombre de 10 (car on ne compte pas celles en dessous  de 440Hz).

Nous voyons en premier plan le signal de la fonction étudiée. Grâce à la série de Fourrier, nous pouvons décomposer la fonction et ainsi voir qu’elle se compose de 4 fonctions différentes. Avec la série de Fourrier, cela donne un première fonction f1, puis 2*f1, puis 3*f1,  4*f1,  5*f1, 6*f1, 7*f1, 8*f1, 9*f1 et enfin 10*f1.

A partir de la transformée de Fourrier nous voulions décomposer le signal. En effet, le mathématicien J.Fourrier a démontré que toute fonction périodique de fréquence f et de moyenne nulle sur sa période T peut être décomposée en une somme de fonctions sinusoïdales de différentes amplitude et de fréquence f, 2f, 3f, 4f …  Mais nous n’y sommes pas parvenus car nous n’arrivions pas à reconstituer le signal du La 440Hz de la guitare sur Géogébra. Lorsque nous tapions la série de Fourrier pour le signal du La 440 Hz, nous n’obtenions pas la courbe.  C’est pourquoi nous avons décidé de vous mettre un exemple de ce que nous aurions du obtenir :

Nous voyons en premier plan le signal de la fonction étudié. Grâce à la série de Fourrier, nous pouvons décomposer la fonction et ainsi voir qu’elle se compose de 4 fonctions différentes. Avec la série de Fourrier, cela donne un première fonction f1, puis 2*f1, puis 3*f1 et enfin 4*f1.

Série de Fourrier

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